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4.3 反正切函數(shù)和反余切函數(shù) 1.素質(zhì)教育目標(biāo) （一）知識(shí)教學(xué)要點(diǎn) 1.反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的定義、形象和性質(zhì)。 2.反正切和反余切函數(shù)的運(yùn)算。 （二）能力培養(yǎng)要點(diǎn) 1、理解反正切、反余切函數(shù)的定義，并根據(jù)圖像得到其性質(zhì)，進(jìn)一步提高學(xué)生將數(shù)字與形狀結(jié)合的能力。 2.掌握反正切、反余切的三角運(yùn)算以及正、余切函數(shù)的反正切、反余切運(yùn)算，不斷提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。 （三）道德教育的切入點(diǎn)通過(guò)對(duì)反正切、反余切函數(shù)的研究，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，它們雖然與反正弦、反余弦函數(shù)不同，但研究方法卻完全相同，有些性質(zhì)也十分相似。 為此，教學(xué)過(guò)程中要注重引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，讓學(xué)生通過(guò)把握事物的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)事物的發(fā)展趨勢(shì)，不斷提高學(xué)生的認(rèn)知能力，自覺(jué)接受事物的本質(zhì)。辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法 1、教學(xué)重點(diǎn)：反正切、反余切函數(shù)的定義、形象和性質(zhì) 2、教學(xué)難點(diǎn)：反正切、反余切函數(shù)的定義。 3、教學(xué)疑點(diǎn)：反正切、反余切函數(shù)與反正弦、反余弦有很多相似之處，但又不一樣。 教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分。 3. 課程安排建議為2節(jié)課。 4.教學(xué)流程設(shè)計(jì)第1課（1）復(fù)習(xí)介紹：我們之前學(xué)過(guò)反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)。 大家知道，為了建立這兩個(gè)函數(shù)，我們采用了控制自變量范圍的方法。 函數(shù)變成1比1。根據(jù)正函數(shù)和余切函數(shù)的特點(diǎn)，思考一下x應(yīng)該分別控制在什么范圍內(nèi)進(jìn)行研究？ 老師：注意，這兩個(gè)區(qū)間都是開(kāi)區(qū)間，與反正弦、反余弦無(wú)關(guān)。 教師：接下來(lái)讓學(xué)生思考如何定義反正切函數(shù)和反余切函數(shù)（學(xué)生敘述，教師板書(shū)）。 將其記錄為 y=。 余切函數(shù) y=ctgx(x(0,π)) 的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為 y=。 師：請(qǐng)考慮一下反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的定義域和取值范圍是什么？ 余切函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)，取值范圍為(0,π)。 師：我們還是要從三個(gè)方面來(lái)理解反正切和反正余切的定義余切函數(shù)，對(duì)于(0,π)。 3與其對(duì)應(yīng)的正切值和余切值分別基于反正切和反正切函數(shù)的定義，即其含義為3。 我們可以得到兩個(gè)基本關(guān)系表達(dá)式： tg()=x, x(-, + )． ctg()=x,x(-,+)． 求下列表達(dá)式的值： 教師：請(qǐng)學(xué)生根據(jù)反正切和反正切的含義完成計(jì)算（請(qǐng)學(xué)生口頭回答）。 求下列表達(dá)式的值： 師：根據(jù)本例的答案，請(qǐng)學(xué)生思考下面兩個(gè)表達(dá)式成立的條件是什么？ arctg(tgx)=x，(ctgx)=x． 練習(xí)：求arctg[tg(-2)]（請(qǐng)同學(xué)在黑板上做。）arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2． 師：這題利用變換，將不在反余切函數(shù)取值范圍內(nèi)的角度轉(zhuǎn)換成其內(nèi)的角度，這樣就可以解決問(wèn)題了。 每個(gè)人都應(yīng)該善于運(yùn)用這個(gè)方法。 師：這道題是關(guān)于角相等的問(wèn)題。 我們之前已經(jīng)處理過(guò)這個(gè)問(wèn)題了。 請(qǐng)回憶一下這種問(wèn)題是如何解決的？ 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，我們得出結(jié)論它們相等。 師：這題的兩個(gè)未知角都在等號(hào)的一側(cè)。 我們應(yīng)該如何對(duì)待他們呢？ 師：根據(jù)出現(xiàn)的反三角函數(shù)，應(yīng)該選擇哪個(gè)三角函數(shù)？ 生：正切或余切。 師：請(qǐng)學(xué)生根據(jù)剛才的討論自行完成證明（老師會(huì)檢查并注意個(gè)別指導(dǎo)）。 （3）練習(xí)P.283中。練習(xí)1、3、4、5。 （4）小結(jié)1.反正切、反余切的定義和意義（略）2.基本關(guān)系表達(dá)式：tg()=x,xR； ctg()=x,xR。 5. 作業(yè)教材 P. 285-286 練習(xí) 19 9, 10, 12. 6. 黑板設(shè)計(jì)第 2 課 1. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) (1) 復(fù)習(xí)者：前面我們學(xué)過(guò)反正弦、反余弦、反正切、反余切函數(shù)的定義。 我們將這四個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)。 如果用y=arcx來(lái)表示這些函數(shù)，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出它們的含義。 arcx代表一個(gè)角度，2。這個(gè)角度屬于它的值。 該角的同名三角函數(shù)的值等于x。 師：我們知道，反三角函數(shù)中的每個(gè)函數(shù)都有兩個(gè)基本的關(guān)系式。 讓我們嘗試根據(jù)上述約定來(lái)表達(dá)它們。 學(xué)生：1(arcx)=x余切函數(shù)，x屬于相應(yīng)反函數(shù)的定義域。 2arc(x)=x，x屬于相應(yīng)反函數(shù)的取值范圍。 （教師對(duì)上述表達(dá)式進(jìn)行指導(dǎo)。） （2）緒論 教師：今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的圖像和性質(zhì)。 我們?nèi)匀粡膬蓚€(gè)函數(shù)的原函數(shù)的圖像開(kāi)始英語(yǔ)作文，使用彼此的逆函數(shù)。 進(jìn)行函數(shù)的函數(shù)圖之間的關(guān)系。 師：請(qǐng)打開(kāi)課本，閱讀第281頁(yè)圖4-6、4-7。 記住反正切函數(shù)和反正切函數(shù)的圖形的位置和形狀（讓學(xué)生觀察一段時(shí)間后，請(qǐng)同學(xué)畫(huà)一個(gè)草圖，老師會(huì)進(jìn)行批改）。 師：要想準(zhǔn)確地畫(huà)出他們的形象（圖4-5、圖4-6），就必須畫(huà)虛線。 它們被稱為漸近線。 下面我們可以根據(jù)圖像（學(xué)生敘述、老師板書(shū)）輕松求出它們的單調(diào)性。 (1) 反正切函數(shù) y= 是區(qū)間 (-, +) 上的增函數(shù)； 反余切函數(shù) y= 位于區(qū)間 (-, +) ) 上，是遞減函數(shù)。 教師：讓學(xué)生根據(jù)圖形判斷反正切函數(shù)的奇偶性（學(xué)生回答，教師板書(shū)）。 (2)反正切函數(shù)y=是奇函數(shù)，即arctg(-x)=-。 師：從反余切函數(shù)的圖形來(lái)看，它既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，但它具有以下性質(zhì)。 (3)(-x)=π-,x(-,+)。 其證明與反余弦函數(shù)性質(zhì)2的證明類似。 要求學(xué)生課后自行完成。 （表格預(yù)先畫(huà)在軟黑板上，掛起來(lái)。） （4）舉例求函數(shù)y=||的單調(diào)區(qū)間。 解：函數(shù)的定義域是x(-,+)。 函數(shù) y=|| 的圖像（草圖） 如圖4-7所示：可以得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-,0]。 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+]。 x=(-y)=π-． 因此，原函數(shù)的反函數(shù)為： y=π-解： 由不等式()2-+2>0得。 可用：<1 或 >2。 根據(jù)反正切函數(shù)的單調(diào)性，可以得到x<tg1。 師：上面三個(gè)例子的答案都是利用反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的性質(zhì)或圖像來(lái)解決問(wèn)題。 所以希望大家能夠記住反函數(shù)的圖像和性質(zhì)。 但從上面總結(jié)的表格來(lái)看，內(nèi)容很多，而且有很多雷同和混亂的地方，死記硬背是行不通的。 和以前一樣，我們只需要記住圖像，然后我們就可以根據(jù)圖像本身推斷出屬性。 （5）練習(xí)P。283中的練習(xí)2。 （6）總結(jié)表中的內(nèi)容，并與學(xué)生一起朗讀。 2.作業(yè)課本P.286中練習(xí)19,11,13 3.板書(shū)設(shè)計(jì)#G%J)N@37^!H*L+0`4.

%I(M=26:#G&K-0@37^!H*L+1~5.%J)M=26:#G&K-07^$%J)N=26:!G&K-0`4. 7^(L+1~5;%J)N@36:!H&K-0`4. #F%J)N@37:!H*L-0`4。 #G&J)N@37^!H*L+1`4。 $I(M=26:#G&K-N@37^!H*L+1~5.%J(M=26:#G&K-0 7^$H *L+1~5;9 %J)N =26: D#G&K -0`4 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J)N@36:!H&K-0 `4。

8^bl #F%J)N@36:!H*L-0`4。 8 #G&K-0@37^$H*L+1~5; $I(M=26:#G&K-N@ 37^!H* L+1~5.7^$H *L+1~5;9 %J)N=26: D#G&K -0`4. 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J )N@36:!H&K-0 `4.8 #F%J)N@37:!H*L-0`4.8 #G&K-0@37^$H* L+1~5； 7^ L+1~5;%J)N@26:!G&K-0 `4.8^bl (M+1~5;%J)N@36:!H*K-0 `4.8