更新時間：2021-06-08 16:14:41作者：admin2
《徐利治談數學哲學》讀書筆記20090711
——數學直覺層次性初探
P131.直覺一詞是外來語，來源于日語“直覺”，是對“intuition”的意譯，指未經過充分邏輯推理和研究的直觀，它是以已經獲得的知識和積累的經驗為依據的。有時指感性直觀，有時指非邏輯的，直接領悟事物本質的思考，有時意味著不夠嚴格的，不完全的思維，有時它意味著籠統地、綜合性的整體判斷，有時又被理解為“頓悟”，理解為靈感的閃現。
P132.我們認為，直覺是對事物本質的直接領悟或洞察，數學直覺是對于數學對象（結構及其關系）的某種直接領悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇。有時是“頓悟”，有時是“漸悟”的。是在無意中產生的，直接指向數學對象的本質。
所謂數學直覺的層次性，指的是人們獲得數學直覺的能力存在上的差異。這一點是由數學認識活動的主體和客體兩個方面決定的。認識主體的數學直覺能力層次，要根據認識客體的抽象程度加以衡量。反過來，對于數學認識客體的抽象程度理解到何種層次，取決于認識主體數學直覺能力的強弱。
P136.從數學直覺在數學認知活動中的作用來考察，可以把它劃分為辨識直覺、關聯直覺和審美直覺這三種類型。辨識直覺解決的是一個新想法是否有價值，是否值得去發展的問題。關聯知覺解決的是不同知識領域（包括已知知識領域和未知知識領域）之間內在聯系的問題。審美直覺解決的是新想法是否符合數學美的要求問題。
辨識知覺的對象是具體數學問題之研究。它需要識別哪一種研究思路較有價值、較為可靠，也就是要解決數學研究中的“真”與“善”的問題。數學真理可大體上劃分為“邏輯合理性”、“模式真理性”和“現實真理性”三個層次。
關聯直覺較之于辨識直覺居于更高層次，具備一定的思想跨度。
審美直覺是比關聯直覺和辨識知覺層次更高的直覺類型。
P138.有些數學家認為，數學的簡單性、統一性、對稱性、奇異性等本身就是數學美的內容。據有簡單性、統一性、對稱性、奇異性的數學對象與其背景反差越大，則顯得越美，越具有吸引力。
P139.影響數學直覺能力的主要因素有以下幾個方面。
（1） 知識基礎的狀況
數學直覺是在已有的知識素材基礎上產生的，知識基礎的穩固性，影響著數學直覺認識的可靠性；知識基礎的“寬度”，影響著數學直覺，特別是關聯直覺的思想跨度。
（2）經驗與訓練
數學直覺的層次性，同已往的經驗有密切關系。而數學直覺能力是可以通過自覺訓練而提高的。數學直覺能力可以說是人的一種與生俱來的能力，但它必須通過積累實踐經驗方能發揮作用。在數學教育的各個階段注重訓練數學直覺能力是十分重要的。積累數學直覺經驗，貴在多想多練，反復體會。由于數學直覺是“悟”出來的，其中的過程難以用邏輯思維的言語講清楚，所以訓練直覺能力不能像講授數學知識那樣進行。提高這種能力要靠引導和必要的支點，但關鍵在于親身實踐，自己總結經驗。在同樣的知識基礎上，在同樣的時間內，一個人實踐的次數越多，效率越高，越能使自己的數學直覺能力進入到較高層次。
（3）認識主體的思維品質
只有對要解決的問題抱有濃厚的興趣，經過專心的思考，是思想漸入飽和狀態，達到獲得關鍵性觀念的邊緣，才能夠產生頓悟或漸悟，使直覺能力發揮作用。就數學直覺能力而言，從猜測、想象、模擬等發散思維中獲益更多一些。
（4）主體審美意識水平
審美意識水平的提高是促進各種類型的數學直覺能力的提高的重要因素。