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誰說數學枯燥無味？數學中，蘊含著許多歡樂而深刻的數學定理。這些充滿生命力的數學定理不僅受到數學家的喜愛，也在數學愛好者中廣為流傳。

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醉鳥

1. 醉漢總能找到回家的路，但醉鳥可能永遠回不到家。

假設有一條水平直線，從某一位置出發，每次有50%的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。如果我們一直這樣隨機行走下去，最后回到起點的概率是多少？答案是100%。在一維隨機游走過程中，只要時間足夠長，最后總能回到起點。

現在考慮一個醉漢在街上隨機行走。假設整個城市的街道呈網格狀分布。醉漢每次走到十字路口時，都會以相等的概率選擇一條路（包括他來時的那條路）繼續行走。那么他最終回到起點的概率是多少？答案依然是 100%。一開始，醉漢可能會走得越來越遠，但最終他總會找到回家的路。

然而醉鳥就沒有那么幸運了。如果一只鳥每次飛行時都以相等的概率從上、下、左、右、前、后選擇一個方向，那么它很可能永遠也回不到起點了。事實上，在三維網格中隨機游走，回到起點的概率只有 34% 左右。

這個定理是著名數學家波利亞在1921年證明的，隨著維度的增加，回到起點的概率越來越低，在四維網格中，回到起點的概率是19.3%，而在八維空間中，這個概率只有7.3%。

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你在這里

2、如果你把一張當地地圖平鋪在地面上，你總能在地圖上找到一個點，而這個點下方地面上的點留學之路，恰恰就是它在地圖上所代表的位置。

也就是說，如果地板上畫有整個商場的地圖，您總是可以在地圖上準確地做上“您在這里”的標記。

1912年，荷蘭數學家布勞威爾（）證明了這樣一個定理：設D是圓盤上的點集，f是從D到自身的連續函數，則必定存在一個點x使得f(x)=x。也就是說，如果連續移動圓盤上的所有點，總有一個點可以回到移動前的位置。這個定理被稱為布勞威爾不動點定理。

除了上面的“地圖定理”，布勞威爾不動點定理還有許多其他奇妙的推論。如果你拿兩張同樣大小的紙，把其中一張揉皺，放在另一張紙上，根據布勞威爾不動點定理火腿三明治定理，球上一定有一個點，位于下面那張紙上同一點的正上方。

這個定理也可以推廣到三維空間中：當你把咖啡攪拌完之后，你一定會在咖啡中找到一個在攪拌前后位置相同的點（盡管這個點在攪拌過程中可能去過其他地方）。

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無法撫平的毛球

3.你永遠不可能拉直椰子上的毛。

想象一個球體表面長滿毛發，你能把所有毛發梳平而不留下雞冠般的毛簇或頭發般的旋渦嗎？拓撲學告訴你這是不可能的。這被稱為毛球定理，也是由布勞威爾首次證明的。用數學術語來說，這意味著球體表面不可能存在連續的單位矢量場。這個定理可以擴展到高維空間：對于任何偶數維球體，都不存在連續的單位矢量場。

毛球定理在氣象學中有一個有趣的應用：由于風速和風向在地球表面是連續的，根據毛球定理，地球上總有一個風速為0的地方，這意味著氣旋和風暴眼是不可避免的。

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另一邊的氣候完全一樣

4、任何時刻，地球上總有兩點對稱，其溫度和大氣壓完全相同。

波蘭數學家瓦夫·烏拉姆（?aw Ulam）曾猜想：給定任意一個從n維球面到n維空間的連續函數火腿三明治定理，我們總能在球面上找到兩個關于球心對稱的點，它們的函數值相同。1933年，波蘭數學家卡羅爾·博蘇克（Karol ）證明了這一猜想，這就是拓撲學中的博蘇克-烏拉姆定理（-Ulam）。

博爾蘇克-烏拉姆定理的推論有很多，其中之一就是地球上總有兩個對稱點，它們的溫度和大氣壓值完全相等（假設地球表面不同地方的溫差和大氣壓差是不斷變化著的）。這是因為我們可以把所有可能的溫度和大氣壓值組合看作是直角坐標系上的點，因此地球表面各點的溫度和大氣壓變化可以看作是從二維球面到二維平面的函數。由博爾蘇克-烏拉姆定理可以推出，一定有兩個對稱點，它們的函數值相等。

當n=1時，-Ulam定理可以表述如下：在任意給定時刻，地球赤道上總有兩點溫度相同。對于這個弱化版的推論，我們有一個很直觀的證明方法：假設赤道上有A、B兩個人，站在關于球心對稱的位置。如果此時他們所在位置的溫度相同，則問題好解決。現在我們只需要考慮他們所在位置溫度有高有低的情況。我們假設A所在位置的溫度為10度，B所在位置的溫度為20度。現在，讓兩人以相同的速度、相同的方向沿著赤道旅行，保持他們對稱的位置。假設在這個過程中，各個位置的溫度保持不變。在旅途中，兩人不斷報告自己當地的溫度。 當兩人都繞赤道半圈后，A到達了B的原來位置，B也到達了A的初始位置。在整個旅程中，A報告的溫度從10開始不斷變化（可能上下波動甚至超出10到20的范圍），最后變成了20；而B所經歷的溫度則從20開始，最后不斷變化為10。因此，他們報告的溫度值必定在中間的某一時刻“相交”，于是我們找到了赤道上兩個溫度相等的對稱點。

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餅干火腿三明治

4. 對于任何火腿三明治，總有一把刀可以將其切開，將火腿、奶酪和面包片分成兩等份。

更有意思的是，這個定理的名字實際上叫做“火腿三明治定理”，是由數學家亞瑟·斯通和約翰·圖基在1942年證明的，在測度論中具有非常重要的意義。

火腿三明治定理可以推廣到 n 維的情況：如果 n 維空間中有 n 個物體，那么總有一個 n-1 維超平面能把每個物體分成兩個相等的“體積”。這些物體可以是任意形狀，可以是不連續的（比如面包片），甚至可以是一些形狀奇怪的點集，只要這些點集是可測的。

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