更新時間：2024-10-06 16:24:26作者：留學之路
代數幾何的研究對象大致是一個或多個變量(代數簇)的多項式的公共零點。但由于多項式在數學中如此普遍，代數幾何始終站在許多不同領域的十字路口。代數幾何中的經典問題涉及特定方程組或直線和線性空間幾何的研究。
哥倫比亞大學代數幾何研究小組有著悠久的傳統。目前，該系是代數幾何研究的活躍中心，以幾何為重點。許多感興趣的領域包括曲線、曲面、三重和向量叢;幾何不變量理論;復曲面幾何;奇點;特征p中的代數幾何和算術代數幾何;代數幾何和拓撲、數學物理、可積系統和微分幾何之間的聯系等。
幾何和分析在哥倫比亞大學尤為活躍。這些都是廣闊的領域，世界各地領先的數學系都以不同的方式反映了無數的方面。在哥倫比亞大學，它們緊密地交織在一起，以偏微分方程為共同的統一線索，以幾個復雜變量、代數幾何、拓撲、理論物理、概率和應用數學的基本問題為指導目標。
基本物理定律的表述始終與最深奧的數學緊密交織在一起。這在今天更加明顯，幾何學為廣義相對論、規范理論、弦理論和統計物理模型奠定了基礎。反過來，這些物理學領域的發展也有助于推動數學各個領域的進步，例如黎曼表面理論、量子幾何、紐結理論、鏡像對稱、表示論、非線性偏微分方程和微分幾何。數學和物理學之間的交叉融合也許從未如此豐富。
數論是數學最古老的分支之一，主要研究數字的一般性質。在過去的幾十年里，數論研究在許多方面都取得了快速進展。最近，解析、幾何和 p-adic 方法產生了重要的新結果。這些進步已被用來帶來突破，解決長期存在的問題，并提出新的鼓舞人心的問題。
自從 Bachelier 于 1900 年開創了布朗運動的數學研究并理解其作為金融市場分析工具的重要性以來，概率一直是金融研究的核心(比愛因斯坦發展布朗運動的物理理論早了五年)。隨著馬科維茨、夏普、米勒以及默頓和斯科爾斯獲得諾貝爾經濟學獎，金融理論引起了全世界的關注，它試圖理解金融市場如何運作，如何提高金融市場的效率，以及金融市場應該如何運作。
拓撲學關注空間形狀的內在屬性。n維流形是一類在數學中發揮核心作用且其拓撲結構得到廣泛研究的空間。這些空間局部看起來像歐幾里得 n 維空間。